1. Juli 202024. Januar 2023 Co-Treppe
Im Anschluss an unsere vorherigen BlogsIdentifizieren verschiedener Arten von SequenzenUndFinden des n-ten Termes einer linearen Folge, in diesem Blog zeige ich Ihnen, wie Sie den n-ten Term einer quadratischen Folge finden.Es ist wichtig zu beachten, dass dieses Thema nur in der Mathematikprüfung der höheren Stufe des GCSE geprüft werden kann.
Lassen Sie uns ein Beispiel durchgehen.
Beispiel 1
Finden Sie den n-ten Term der quadratischen Folge 3, 4, 7, 12, …
Bevor wir beginnen, wissen wir, dass unsere Formel für den n-ten Term die Form an haben wird, da es sich um eine quadratische Folge handelt2+ Mrd. + c. Wir müssen nur a, b und c finden.
Suchen wir zunächst nach einem. Um a zu finden, ermitteln wir die Differenz der Differenzen in unserer Folge und dividieren diese dann durch 2.
Die Unterschiede der Unterschiede sind unten in Grün dargestellt:
Das gibt uns 2.
Teilen Sie nun diese Zahl durch 2:
2 ÷ 2 =1
Wir haben a (mit anderen Worten den Koeffizienten von n) gefunden2in unserer n-ten Termformel).
Nun, weil wir wissen, dass unser n-ter Term 1n enthält2(oder einfach n2), werden wir unsere Sequenz aufschreiben und sie mit der Sequenz n vergleichen2und dann den Unterschied zwischen diesen beiden finden. Dieser Unterschied ergibt eine Folge, die wir verwenden können, um den Rest unserer Formel für den n-ten Term zu finden.
Unten ist in Schwarz unsere Sequenz.
Dann ist in Rot die Folge n2.
Dann ist in Grün die Differenz zwischen unserer Folge und der Folge n dargestellt2.
Die Unterschiede zwischen unserer Sequenz und der Sequenz n2bildet nun eine lineare Folge (oben in Grün).Dieser Ablauf sollte immer linear sein – wenn nicht, haben Sie etwas falsch gemacht.Jetzt müssen wir noch den n-ten Term dieser grünen Folge finden. Wir müssen dies zu n hinzufügen2– das wird uns unser B und C verraten. Wenn Sie eine Erinnerung daran benötigen, wie Sie den n-ten Term einer linearen Folge finden,Sie können den vorherigen Blog noch einmal lesen.
Die Folge hat eine Differenz von -2, und wenn es einen vorherigen Term gäbe, wäre sie 4.
Der n-te Term der grünen Folge ist also -2n + 4.
Wenn wir dies zu dem hinzufügen, was wir bereits wussten, bedeutet dies, dass unsere Formel für den n-ten Term lautetN2- 2n + 4.
Ich würde Ihnen an dieser Stelle dringend empfehlen, Ihre Antwort zu überprüfen.Zurück zu der Frage, warum die Formel für den n-ten Term nützlich ist, denken Sie daran, dass die Formel Ihnen jeden Term in der Sequenz sagt. Aus der Frage wissen wir, dass der erste Term in der Folge 3 ist. Wenn wir also 1 in die Formel einsetzen, sollten wir 3 erhalten. Ebenso wissen wir, dass der zweite Term in der Folge 4 ist, wenn wir also 2 in die Formel einsetzen Formel sollten wir 4 erhalten. Dadurch können wir überprüfen, ob die von uns berechnete Formel korrekt ist. Und wenn wir 3 einstecken, sollten wir 7 bekommen.
n = 1 12– 2×1 + 4 = 1 – 2 + 4 =3das passt zu unserer Reihenfolge!
n = 2 22– 2×2 + 4 = 4 – 4 + 4 =4das passt auch!
n = 3 32– 2×3 + 4 = 9 – 6 + 4 =7das passt auch!
Machen wir auch den vierten Term, wir wissen, dass dieser 12 sein sollte ...
n = 4 42– 2×4 + 4 = 16 – 8 + 4 =124 von 4!
Daher sind wir sicher, dass unsere Antwort richtig ist. Es ist immer ein schönes Gefühl, nicht nur in Mathe, wenn man eine Antwort gibt und manwissendas ist richtig. Ich würde empfehlen, immer mindestens zwei Begriffe auszuprobieren, da man immer einen zufällig auswählen kann!
Beispiel 2
Finden Sie den n-ten Term der quadratischen Folge 1, 3, 9, 19, …
Finden Sie zunächst a – die Differenz der Differenzen dividiert durch 2.
Die Differenz der Differenzen beträgt dieses Mal 4, also 4 ÷ 2 = 2, was uns a = 2 ergibt.
Wir wissen also, dass unsere Sequenz mit 2n beginnt2.
Vergleichen Sie nun unsere Folge mit der Folge 2n2(Dies ist nur die Reihenfolge für n2aber jeder Term multipliziert mit 2).
Dadurch wird die lineare Sequenz in Grün erzeugt. Wir müssen nun den n-ten Term dieser Folge finden.
Die Folge hat eine Differenz von -4 und wenn es einen vorherigen Term gäbe, wäre sie 3.
Der n-te Term der grünen Folge ist also -4n + 3.
Unsere endgültige Formel für den n-ten Term lautet also2n2– 4n + 3.
Schauen wir uns nun die ersten drei Begriffe an …
n = 1 2×12– 4×1 + 3 = 2 – 4 + 3 =1das passt zu unserer Reihenfolge
n = 2 2×22– 4×2 + 3 = 8 – 8 + 3 =3das passt auch
n = 3 2×32– 4×3 + 3 = 18 – 12 + 3 =9das passt auch
Daher sind wir zuversichtlich, dass unsere Antwort richtig ist.
Beispiel 3
Finden Sie den n-ten Term der quadratischen Folge 2, 3, 10, 23, …
Suchen Sie zunächst nach einem.
6 ÷ 2 = 3.
Der n-te Term beginnt also mit 3n2. Vergleichen Sie nun unsere Sequenz damit.
Finden Sie nun den n-ten Term der grünen Folge.
Die Folge hat eine Differenz von -8 und wenn es einen vorherigen Term gäbe, wäre sie 7.
Der n-te Term ist also -8n + 7.
Geben Sie unsere endgültige Antwort als3n2– 8n + 7.
Überprüfen Sie die ersten drei Begriffe…
n = 1 3×12– 8×1 + 7 = 3 – 8 + 7 =2das passt zu unserer Reihenfolge
n = 2 3×22– 8×2 + 7 = 12 – 16 + 7 =3das passt auch
n = 3 3×32– 8×3 + 7 = 27 – 24 + 7 =10das passt auch
Beispiel 4
Finden Sie den n-ten Term der quadratischen Folge 8, 13, 20, 29, …
Suchen Sie zunächst nach einem.
2 ÷ 2 = 1.
Die Folge beginnt also mit n2. Vergleichen Sie nun unsere Sequenz damit.
Finden Sie nun den n-ten Term der grünen Folge.
Die Folge hat eine Differenz von 2 und wenn es einen vorherigen Term gäbe, wäre sie 5.
Der n-te Term ist also 2n + 5.
Geben Sie unsere endgültige Antwort alsN2+ 2n + 5.
Überprüfen Sie die ersten drei Begriffe…
n = 1 12+ 2×1 + 5 = 1 + 2 + 5 =8das passt zu unserer Reihenfolge
n = 2 22+ 2×2 + 5 = 4 + 4 + 5 =13das passt auch
n = 3 32+ 2×3 + 5 = 9 + 6 + 5 =20das passt auch
Es gibt also die Methode, den n-ten Term einer quadratischen Folge zu finden. Es ist nicht die einfachste Methode, aber mit etwas Übung können Sie sie ziemlich schnell erlernen.
Versuchen Sie, den n-ten Term dieser 5 quadratischen Folgen zu finden. Geben Sie Ihre Antworten in die Kommentare ein oder senden Sie Ihre Antworten per E-Mail ansam@metatutor.co.ukund ich werde Sie wissen lassen, wenn Sie es richtig machen. Wenn Sie jemanden brauchen, der Ihnen dies persönlich erklärt,Buchen Sie eine kostenlose Schnupperstunde.
1. 1, 7, 15, 25, …
2. 7, 12, 21, 34, …
3. 5, 12, 25, 44, …
4. 0, 9, 22, 39, …
5. 10, 19, 34, 55, …
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Oh mein Gott, auf keinen Fall!!! Jetzt weiß ich, wie es geht! Ich schwöre, alle meine Lehrbücher, anderen Websites usw. könnten es nicht einmal so gut erklären wie Sie!! Ich wusste, ich hätte nicht aufgeben sollen 🙂
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Freut mich, dass es geholfen hat!
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