Magic derrière la séquence de Fibonacci - Chalkdust (2023)

En mathématiques, il existe d'innombrables séquences telles que les séquences arithmétiques, les séquences géométriques etbeaucoup plus.La séquence de Fibonacci est l'une d'entre elles, mais elle est différente des autres séquences en ce qu'elle peut être facilement trouvée dans la vie quotidienne.Jetons un coup d'œil aux modèles qui peuvent être découverts en nombre de Fibonacci et comment nous pouvons les trouver autour de nous.

Dans une séquence de Fibonacci, chaque nombre après les deux premiers nombres est la somme des deux précédentes.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…

Il s'agit d'une séquence de Fibonacci car 2 est trouvée en additionnant les deux anciens nombres, 1 et 1. De même, 3 est trouvé en ajoutant 1 et 2, qui sont les nombres précédents.Sur la base de cette règle, nous pouvons comprendre que le numéro suivant de cette séquence serait 8 + 13 = 21.

Les nombres qui apparaissent dans la séquence Fibonacci tels que 1, 2, 3, 5, 8, etc., sont appelés nombres de fibonacci.Voici une liste des numéros de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393,… ((A000045)

Nous pouvons écrire cette séquence en utilisant des symboles au lieu des nombres:

\ begin {aligner *}
u_n & = \ text {numéro de terme} (n) \\
u_ {n-1} & = \ text {ancien terme} (n-1) \\
u_ {n-2} & = \ text {term avant} (n-2)
\ end {align *}

$ u_n = u_ {n-1} + u_ {n-2} $

Le tableau ci-dessus montre les numéros Fibonacci pour le terme $ n $ th dans la séquence Fibonacci.Découvrons le trimestre suivant, $ U_9 $, en utilisant cette équation.

\ begin {aligner *}
U_9 & = U_8 + U_7 \\
{} & = 21 + 13 \\
{} & = 34
\ end {align *}

Formule de séquence Fibonacci

Il existe un autre moyen de comprendre les nombres de Fibonacci, autres que d'additionner deux anciens termes.En fait, il existe une formule qui nous permet facilement de trouver des nombres de Fibonacci, simplement en substituant les nombres.SuivantNevil Hopley«S dérivation du terme général de la séquence Fibonacci, nous procédons comme suit:

Définissons un certain numéro Fibonacci comme $ u_n $.Nous supposerons que $ u_n = k x ^ n $ parce que les chiffres Fibonacci se développent de façon exponentielle et qu'une fonction exponentielle peut être décrite comme $ k x ^ n $.Puisque $ u_n $ est un numéro Fibonacci, c'est la somme de deux anciens termes Fibonacci.

$ u_ {n + 1} = u_n + u_ {n-1} $

Cela peut également être écrit comme:

$ k x ^ {n + 1} = k x ^ n + k x ^ {n-1} $

Nous pouvons éliminer les $ k $ de l'équation ci-dessus en divisant tous les termes par $ k $.

$ x ^ {n + 1} = x ^ n + x ^ {n-1}. $

Cela peut être simplifié en divisant tous les termes par $ x ^ {n-1} $.

$ x ^ 2 = x + 1 $

La valeur de $ x $ peut être mesurée avec la formule quadratique.

$ \ displaystyle x = \ frac {1 \ pm \ sqrt {5}} {2} $

$ \ displaystyle x_1 = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2}, x_2 = \ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} $

Par conséquent, $ \ displaystyle u_n = k x ^ n = k_1 \ gauche (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ n $ ou $ \ displaystyle u_n = k x ^ n = k_2 \ Left (\frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ n $.

La somme de deux valeurs possibles de $ u_n $ fonctionnerait également.

$ \ displaystyle u_n = k_1 \ gauche (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ n + k_2 \ Left (\ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ droite)^ n $

Puisque $ u_n $ est une formule pour les numéros de fibonacci, $ u_0 $ devrait être 0 et $ u_1 $ devrait être 1.
\ begin {aligner *}
n & = 0 && \ implique & u_0 = k_1 \ gauche (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ 0 + k_2 \ Left (\ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ \ \ \à droite) ^ 0 & = 0 \\
&&&& k_1 + k_2 & = 0 \\
&&&& k_2 & = -k_1
\ end {align *}
\ begin {aligner *}
n & = 1 && \ implique & u_1 = k_1 \ gauche (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ 1 + k_2 \ Left (\ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ \à droite) ^ 1 & = 1 \\
&&&& k_1 \ Left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) + k_2 \ gauche (\ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ droit) & = 1 \\
\ end {align *}
Multipliant tous les termes par 2 $ pour éliminer les fractions, nous obtenons:

$$ K_1 \ Left (1 + \ sqrt {5} \ droite) + k_2 \ Left (1 - \ sqrt {5} \ droite) = 2 $$

À partir du calcul précédent lorsque nous avons substitué 0 $ $ par $ n $, nous avons dérivé l'équation $ k_2 = -k_1 $.Ainsi, nous réécrivrons $ k_2 $ comme $ -K_1 $ dans l'équation ci-dessus.
\ begin {aligner *}
k_1 \ gauche (1 + \ sqrt {5} \ droite) - k_1 \ gauche (1 - \ sqrt {5} \ droite) & = 2 \\
k_1 + \ sqrt {5} k_1 - k_1 + \ sqrt {5} k_1 & = 2 \\
2 \ sqrt {5} k_1 & = 2
\ end {align *}
Nous avons donc trouvé que:
\ begin {aligner *}
k_1 & = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \\
k_2 & = - \ frac {1} {\ sqrt {5}}
\ end {align *}

Donc:
$$ _ n = k_1 \ gauche (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ n + k_2 \ Left (\ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^n = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ Left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ n + \ frac {1} {\ sqrt {5}} \gauche (\ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ n $$

Que se passe-t-il lorsque les chiffres sont carrés?

En fait, quelque chose de beaucoup plus intéressant se produit lorsque les chiffres sont carrés.

Lorsque nous regardons de près cette nouvelle séquence, nous pouvons trouver un modèle.

$ \ displayStyle (u_n) ^ 2 + (u_ {n + 1}) ^ 2 = u_ {2n + 1} $

Cette séquence peut être dérivée non seulement par observation, mais aussi en utilisant l'algèbre.Auparavant, nous avons dérivé le terme $ n $ th de la séquence Fibonacci:

$$ U_n = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ Left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droit) ^ n + \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ Left (\ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ n $$

Afin de justifier $ \ displaystyle (u_n) ^ 2 + (u_ {n + 1}) ^ 2 = u_ {2n + 1} $ d'une manière plus simple, j'écrirai $ \ displaystyle \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} $ comme $ a $ et $ \ displaystyle \ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} $ comme $ b $.

En d'autres termes, j'écrirai $ \ displaystyle u_n = \ frac {\ Left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ n - \ Left (\ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ n} {\ sqrt {5}} = \ frac {a ^ n - b ^ n} {\ sqrt {5}} $

$ \ displaystyleu_n ^ 2 $ et $ \ displaystyleu_ {n + 1} ^ 2 $ peuvent être écrits en utilisant $ a $ et $ b $:
\ begin {aligner *}
u_n ^ 2 & = \ Left (\ frac {a ^ n - b ^ n} {\ sqrt {5}} \ droite) ^ 2 = \ frac {a ^ {2n} - 2 a ^ n b ^ n + b^ {2n}} {5} \\
U_ {n + 1} ^ 2 & = \ Left (\ frac {a ^ {n + 1} - b ^ {n + 1}} {\ sqrt {5}} \ droite) ^ 2 = \ frac {a ^{2n + 2} - 2 a ^ {n + 1} b ^ {n + 1} + b ^ {2n + 2}} {5} \\ & = \ frac {a ^ {2n} \ Times A ^ 2- 2 a ^ {n} b ^ {n} \ Times A \ Times B + B ^ {2n} \ Times B ^ 2} {5}
\ end {align *}

Ici $ a \ Times B $ équivaut à -1 $, donc:
\ begin {aligner *}
u_ {n + 1} ^ 2 & = \ frac {a ^ {2n} \ Times a ^ 2 + 2 a ^ {n} b ^ {n} + b ^ {2n} \ Times B ^ 2} {5}\\
u_n ^ 2 + u_ {n + 1} ^ 2 & = \ frac {a ^ {2n} + b ^ {2n} + a ^ {2n} \ Times a ^ 2 + 2 a ^ {n} b ^ {n} + B ^ {2n} \ Times B ^ 2} {5} \\ & = \ frac {a ^ {2n} \ Left (1 + a ^ 2 \ droite) + b ^ {2n} \ Left (1 +B ^ 2 \ droite)} {5}
\ end {align *}

Ici,
$$ 1 + a ^ 2 = 1 + \ Left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ 2 = \ frac {5 + \ sqrt {5}} {2} $$
et
$$ 1 + b ^ 2 = 1 + \ Left (\ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ 2 = \ frac {5 - \ sqrt {5}} {2}. $$
Cela signifie que:
\ begin {aligner *}
u_n ^ 2 + u_ {n + 1} ^ 2 & = \ frac {a ^ {2n} \ Left (\ frac {5 + \ sqrt {5}} {2} \ droite) + b ^ {2n} \ Left(\ frac {5 - \ sqrt {5}} {2} \ droite)} {5} \\
& = \ frac {a ^ {2n} \ Times \ Sqrt {5} \ Left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2} \ droit) - \ Sqrt {5} b ^ {2n} \ Left(\ frac {1- \ sqrt {5}} {2} \ droite)} {5} \\
& = \ frac {a ^ {2n} \ Times \ Left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2} \ droite) - b ^ {2n} \ Left (\ frac {1- \ sqrt {5}} {2} \ droite)} {\ sqrt {5}}
\ end {align *}

Brancher $ A $ et $ b $ Retour donne:
\ begin {aligner *}
u_n ^ 2 + u_ {n + 1} ^ 2 & = \ frac {\ Left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2} \ droit) ^ {2n} \ Times \ Left (\ frac {\ sqrt{5} + 1.} {2} \ droite)} {\ sqrt {5}} \\ & = \ frac {\ Left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2} \ droite) ^ {2n + 1} - \Left (\ frac {1- \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ {2n + 1}} {\ sqrt {5}} \\
U_ {2n + 1} & = \ frac {\ Left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2} \ droite) ^ {2n + 1} - \ Left (\ frac {1- \ sqrt {5}} {2} \ droite) ^ {2n + 1}} {\ sqrt {5}}
\ end {align *}

Par conséquent, $ \ displaystyle u_n ^ 2 + u_ {n + 1} ^ 2 = u_ {2n + 1} $.

Voyons si cette équation est correcte en substituant certains nombres.

$ n = 1 \ rightarrow \ gauche (u_1 \ droite) ^ 2 + \ gauche (U_2 \ droite) ^ 2 = U_3 \ droite (1) ^ 2 + (1) ^ 2 = 2 $

$ n = 2 \ rightarrow \ gauche (u_2 \ droite) ^ 2 + \ gauche (u_3 \ droite) ^ 2 = U_5 \ droite (1) ^ 2 + (2) ^ 2 = 5 $

$ n = 3 \ rightarrow \ gauche (U_3 \ droite) ^ 2 + \ gauche (U_4 \ droite) ^ 2 = U_7 \ droite (2) ^ 2 + (3) ^ 2 = 2 $

Un autre modèle peut être trouvé lors de l'ajout des premiers nombres de Fibonacci.

$ \ gauche (u_1 \ droite) ^ 2 = 1 $

$ \ gauche (u_1 \ droite) ^ 2 + \ gauche (u_2 \ droite) ^ 2 = 1 + 1 = 2 $

$ \ gauche (u_1 \ droite) ^ 2 + \ gauche (U_2 \ droite) ^ 2 + \ Left (U_3 \ droite) ^ 2 = 1 + 1 +4 = 6 $

$ \ gauche (U_1 \ droite) ^ 2 + \ gauche (U_2 \ droite) ^ 2 + \ Left (U_3 \ droite) ^ 2 + \ gauche (U_4 \ droite) ^ 2 = 1 + 1 +4 + 9 = 15$

$ \ gauche (u_1 \ droite) ^ 2 + \ gauche (U_2 \ droite) ^ 2 + \ Left (U_3 \ droite) ^ 2 + \ Left (U_4 \ droite) ^ 2 + \ Left (U_5 \ droite) ^ 2= 1 + 1 +4 + 9 + 25 = 40 $

Il ne semble pas y avoir de modèle dans les chiffres que nous avons obtenus en additionnant les carrés de nombres de Fibonacci.Cependant, jetez un œil aux facteurs de ces chiffres:

1 $ = 1 \ fois 1 $

2 $ = 1 \ fois 2 $

6 $ = 2 \ fois 3 $

15 $ = 3 \ fois 5 $

40 $ = 5 \ fois 8 $

Les facteurs sont deux nombres de fibonacci consécutifs.Une équation peut être dérivée de ce modèle.

$ \ gauche (U_1 \ droite) ^ 2 + \ gauche (U_2 \ droite) ^ 2 + \ Left (U_3 \ droite) ^ 2 + \ ldots + \ Left (U_ {n-2} \ droite) ^ 2 + \gauche (u_ {n-1} \ droite) ^ 2 + \ gauche (u_n \ droite) ^ 2 = u_n \ Times U_ {n + 1} $

Applications de la séquence Fibonacci

La séquence de Fibonacci peut être trouvée dans les situations mathématiques ainsi que dans des situations non mathématiques.Quant aux situations mathématiques, la séquence de Fibonacci peut être détectée dans le triangle de Pascal.Le triangle de Pascal est généralement utilisé dans la probabilité, la combinatoire ou l'algèbre.Cependant, il est possible de trouver des nombres de Fibonacci dans ce triangle, bien qu'il soit assez difficile de les voir.

Les nombres de Fibonacci peuvent être vus lors de l’addition des nombres dans les diagonales «peu profondes» dans le triangle de Pascal.

Somme des chiffres dans la première diagonale peu profonde: 1 $
Somme des chiffres dans la deuxième diagonale peu profonde: 1 $
Somme des chiffres dans la troisième diagonale peu profonde: 1 $ + 1 = 2 $
Somme des chiffres dans la quatrième diagonale peu profonde: 1 $ + 2 = 3 $
Somme des chiffres dans la cinquième diagonale peu profonde: 1 $ + 3 + 1 = 5 $
Somme des nombres dans la sixième diagonale peu profonde: 1 $ + 4 + 3 = 8 $

1, 1, 2, 3, 5 et 8 sont tous des nombres de fibonacci consécutifs.

En fait, la séquence de Fibonacci peut être couramment trouvée dans la nature.

Par exemple, cet ananas a 13 spirales dans le sens des aiguilles d'une montre et 8 spirales dans le sens antihoraire.13 et 8 sont des numéros de Fibonacci adjacents.

Le nombre de pétales de fleurs est souvent des nombres de Fibonacci.

Le tableau ci-dessus montre le type de fleurs en fonction du nombre de pétales.

Outre les ananas et les pétales de fleurs, il existe de nombreuses situations dans lesquelles vous pouvez rencontrer une séquence Fibonacci.Ils pourraient être dans votre ville, dans votre maison ou même à l'intérieur de votre chambre!Regardez attentivement autour de vous.Vous pourriez voir des numéros de Fibonacci se cacher quelque part.Quelque part, peut-être juste à côté de vous.