Geometrische Verläufe | Brillantes Mathe- und Naturwissenschafts-Wiki (2023)

Ageometrischer Verlauf(GP), auch geometrische Folge genannt, ist eine Folge von Zahlen, die sich um a voneinander unterscheidengemeinsames Verhältnis. Beispielsweise ist die Folge \(2, 4, 8, 16, \dots\) eine geometrische Folge mit dem gemeinsamen Verhältnis \(2\).

Wir können das gemeinsame Verhältnis eines GP ermitteln, indem wir das Verhältnis zwischen zwei benachbarten Termen ermitteln.

Die folgende Folge ist eine geometrische Folge mit Anfangsterm \(10\) und gemeinsamem Verhältnis \(3\):

\[\LARGE \color{blue}{10} \underbrace{\quad \quad }_{\times 3} \color{red}{30} \underbrace{\quad \quad }_{\times 3} \color {green}{90} \underbrace{\quad \quad }_{\times 3} \color{cyan}{270} \underbrace{\quad \quad }_{\times 3} \color{orangered}{810} \underbrace{\quad \quad }_{\times 3} \color{grey}{2430} \]

Wichtige Terminologie

• Anfangsterm: In einer geometrischen Folge wird die erste Zahl als „Anfangsterm“ bezeichnet.
• Gemeinsames Verhältnis: Das Verhältnis zwischen einem Term in der Sequenz und dem Term davor wird als „gemeinsames Verhältnis“ bezeichnet.

Rekursive Formel

Wir können eine geometrische Folge mit einer rekursiven Formel beschreiben, die angibt, wie sich jeder Term auf den vorherigen bezieht. Da in einer geometrischen Folge jeder Term durch das Produkt des vorherigen Termes und des gemeinsamen Verhältnisses gegeben ist, können wir eine rekursive Beschreibung wie folgt schreiben:

\[ \text{Term} = \text{Vorheriger Term} \times \text{Gemeinsames Verhältnis}. \]

Genauer gesagt gilt mit dem gemeinsamen Verhältnis \(r\).

\[a_n=a_{n-1} \times r.\]

Explizite Formel

Während die obige rekursive Formel es uns ermöglicht, die Beziehung zwischen Termen der Sequenz zu beschreiben, ist es oft hilfreich, eine explizite Beschreibung der Terme in der Sequenz schreiben zu können, die es uns ermöglichen würde, jeden Term zu finden.

Wenn wir den Anfangsterm kennen, werden die folgenden Terme durch wiederholte Multiplikation des gemeinsamen Verhältnisses damit in Beziehung gesetzt. Somit lautet die explizite Formel

\[ \text{Term} = \text{Anfangsterm} \times \underbrace{\text{Gemeinsames Verhältnis} \times \dots \times \text{Gemeinsames Verhältnis}}_{\text{Anzahl der Schritte ab dem Anfangsterm }}. \]

Unter Verwendung von Exponenten können wir dies mit dem gemeinsamen Verhältnis \(r\) als schreiben

\[a_n = a_1 \times r^{n-1}.\]

Hinweis: Es ist manchmal einfacher, Werte in einer geometrischen Folge zu berechnen, die auf einem Term in der Mitte statt auf dem Anfangsterm basiert. Wenn wir unsere Berechnungen mit dem \(k^{\text{th}}\)-Term beginnen, ist der \(n^{\text{th}}\)-Term in der geometrischen Folge gegeben durch

\[ a_n = a_k \times r ^ {n-k}.\]

Lassen Sie uns nun einige grundlegende Beispiele erarbeiten, die Sie mit den oben genannten Definitionen vertraut machen können.

Wie lautet die explizite Formel für die geometrische Folge \(4, 12, 36, 108, \dots?\)

See Also

Geometrische Progression (G.P.) – Definition, Eigenschaften, Formeln und Beispiele)GP-Summe | Summe der GP-Formel | Summe von n Termen in GPGeometrische Progression (G.P.): Definition, Konzept, Formeln und gelöste BeispieleSo finden Sie die Summe einer geometrischen Reihe bis zur Unendlichkeit – mathsathome.com

Der Anfangsterm ist \(4\). Da jeder nachfolgende Term das Produkt des vorherigen Termes und \(3\) ist, ist das gemeinsame Verhältnis \(3\). Somit lautet die Formel, die diese Sequenz beschreibt

\[ a_n = 4 \times 3^{n-1}.\ _\square\]

Wenn der vierte Term einer geometrischen Folge mit einem gemeinsamen Verhältnis gleich der Hälfte des Anfangsterms \(32,\) ist, was ist der \(15^{\text{th}}\)-Term?

Der Anfangsterm sei \(a,\) und das gemeinsame Verhältnis \(r\). Wie in der Aufgabe angegeben, ist der \(4^{\text{th}} \)-Term \(ar^{3} = 32\) und der Anfangsterm ist \(a=2r\). Das Lösen dieser beiden simultanen Gleichungen ergibt

\[2r^{4}=32 \impliziert r=2 \impliziert a=4.\]

Daher ist der \(15^{\text{th}}\)-Term

\[a_{15}=a \times r^{14}=4 \times 2^{14}=2^{16} . \ _\Quadrat\]

Manchmal möchten wir die Summe einiger Terme einer geometrischen Folge ermitteln. Wenn die Anzahl der Begriffe, die wir hinzufügen möchten, groß ist, kann es schwierig sein, sie alle einzeln hinzuzufügen. Das folgende Problem veranschaulicht eine Methode, die zu einer allgemeinen Technik weiterentwickelt werden kann:

Finden Sie die Summe der ersten \(10\) Terme der folgenden geometrischen Folge:

\[3,\ 15,\ 75,\ 375,\ 1875,\, \ldots.\]

Die Summe der ersten \(10\) Terme der gegebenen Reihe sei dann \(A,\).

\[A=3+3 \cdot 5 +3 \cdot 5^2+ \cdots +3 \cdot 5^9. \qquad (1)\]

Wenn wir \(A\) mit \(5,\) multiplizieren, erhalten wir

\[5A= 3 \cdot 5 +3 \cdot 5^2+3 \cdot 5^3+\cdots+3 \cdot 5^{10}. \qquad (2)\]

Nimmt man \((1)-(2)\) ergibt

\[ \begin{array} { rllll}A&= 3+3 \cdot 5+3 \cdot 5^2&+\cdots+3 \cdot 5^{9} \\5A&= 0 +3\cdot 5+3 \ cdot 5^2&+\cdots+3 \cdot 5^{9}&+3 \cdot 5^{10} \\\hlineA(1-5)& =3+0~\quad +0&+\cdots+0 &-3 \cdot 5^{10} \\ -4A&=3-3 \cdot 5^{10}\\\\A&=\dfrac{3 \cdot 5^{10}-3}{4}. \ _\square\end{array}\]

Im obigen Beispiel haben wir die Summe der geometrischen Folge mit ihrem gemeinsamen Verhältnis multipliziert und dann das Ergebnis von der ursprünglichen Summe subtrahiert. Dabei haben wir festgestellt, dass sich alle Terme außer dem ersten und dem letzten aufheben. Jetzt können wir den gleichen Ansatz verwenden, um die allgemeine Formel für die Summe zu finden.

Für eine geometrische Folge mit Anfangsterm \( a\) und gemeinsamem Verhältnis \(r,\) beträgt die Summe der ersten \(n\) Terme

\[S_n = \begin{cases}\begin{array}{ll} a \cdot \left( \frac{ r^n -1 } { r - 1 } \right) && \text{for }r \neq 1 \\ a \cdot n && \text{for }r = 1.\end{array} \end{cases} \]

Angenommen, wir wollten die ersten \(n\) Terme einer geometrischen Folge hinzufügen. Wenn \( r = 1 \), dann haben wir eine konstante Folge, und daher ist die Summe einfach \( n a \). Nehmen wir nun an, dass \( ​​r \neq 1, \) dann würden wir erhalten

\[ S_n = a + a \cdot r + a \cdot r^2 + \cdots + a \cdot r^{n-2} + a \cdot r ^ {n-1}. \qquad (1)\]

Die Multiplikation beider Seiten mit \(r\) ergibt

\[ r S_n = a \cdot r + a \cdot r^2 + \cdots + a \cdot r^{n-1} + a \cdot r ^ {n}. \qquad (2)\]

Wenn wir \((1)-(2),\) nehmen, erhalten wir

\[ \begin{array} { rllllllll} S_n&= a + a \cdot r& + a \cdot r^2& + \cdots + a \cdot r^{n-2}& + a \cdot r ^ {n-1 } \\r S_n& =0+a \cdot r & + a \cdot r^2 & + \cdots + a \cdot r^{n-2}& + a \cdot r ^ {n-1}& + a \cdot r^n \\\hlineS_n(1-r)& =a+0&+0&+\cdots+0& +0& - a \cdot r^{n} \\(1-r) S_n &= a-a r^ n.\end{array}\]

Deshalb,

\[ S_n = a \times \left( \frac{ r^n - 1 } { r - 1 } \right) ~\text{for } r \neq 1 . \ _\Quadrat\]

Was ist die Summe der ersten \(10\) Terme einer geometrischen Folge mit Anfangsterm \(2\) und gemeinsamem Verhältnis \(3?\)

Wenn wir die obige Formel für die Summe der geometrischen Progressionsterme anwenden, erhalten wir

\[ 2 \times \frac{ 3^{10 } - 1 } { 3 - 1 } = 3^{10} - 1 = 59048. \ _\square\]

Nachdem wir nun wissen, wie man die Summe endlich vieler Terme ermittelt, gehen wir dazu über, die Summe unendlich vieler Terme einer geometrischen Folge zu ermitteln. Dies geschieht auf ähnliche Weise und wir führen zunächst ein Beispiel durch.

Berechnen Sie die folgende geometrische Reihe:

\[5+ \dfrac 53 +\dfrac 59 +\dfrac{5}{27}+\cdots.\]

Die gegebene Summe sei dann \(S,\).

\[S=5+ \dfrac 53 +\dfrac 59 +\dfrac{5}{27}+\cdots. \qquad (1)\]

Multiplizieren wir \(S\) mit \(\frac 13\), erhalten wir

\[\dfrac 13 S= \dfrac 53 +\dfrac 59 +\dfrac{5}{27}+\dfrac{5}{81}+\cdots. \qquad (2)\]

Nimmt man \((1)-(2)\) ergibt

\[ \begin{array} {rlllllllll}S&=5+ \dfrac 53& +\dfrac 59& +\dfrac{5}{27}&+\cdots \\\dfrac 13 S&=0+ \dfrac 53& +\dfrac 59& +\dfrac{5}{27}&+\dfrac{5}{81}&+\cdots \\\hlineS\left(1-\dfrac 13 \right)& =5+0&+0&+0&+0&+ \cdots \\S \cdot \dfrac 23&=5\\S&={\dfrac{15}{2}}. \ _\square\end{array}\]

Beachten Sie, dass wir den gleichen Trick der Multiplikation mit dem gemeinsamen Verhältnis und der Subtraktion anwenden! Tatsächlich kann dieser Trick verwendet werden, um eine allgemeine Formel für die Summe der unendlichen Terme einer geometrischen Folge zu finden. Auf geht's:

Für eine geometrische Folge mit Anfangsterm \( a \) und gemeinsamem Verhältnis \(r\), die \( |r| < 1 ,\) erfüllt, beträgt die Summe der unendlichen Terme der geometrischen Folge

\[ S_{\infty} = \frac{ a } { 1-r }. \]

Wenn \(-1 < r < 1\) und \(n\) beliebig groß wird, tendiert \(r^n\) gegen Null. Daher nimmt man dieGrenze der Folge, wir bekommen

\[ S_\infty = \lim_{n \rightarrow \infty } S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ a ( 1 - r^n ) } { 1-r } = \frac{ a} { 1-r }. \ _\Quadrat \]

Geometrischer Beweis:

Wir können uns diese Formel auch visuell vorstellen. Wenn \(S\) die Summe der Reihe ist und der Anfangsterm \(a\) ist, können wir ein Quadrat und ein Dreieck wie folgt konstruieren:

Wir können sehen, dass das große Dreieck und das umgekehrte Dreieck auf der linken Seite des Quadrats ähnlich sind. Daher durch Ähnlichkeit,

\[\frac{S}{a} = \frac{a}{a-ar}.\]

Wenn wir nach \(S\) auflösen, erhalten wir

\[S = \frac{a}{1-r}. \ _\Quadrat \]

Nach dem Aufprall auf den Boden springt Ihr Tennisball auf zwei Drittel der Höhe zurück, aus der er gefallen ist. Wie groß ist die gesamte vertikale Distanz, die es zurücklegt, bevor es zum Stillstand kommt, wenn es aus einer Höhe von \(100 \text{ m}\) fallen gelassen wird?\)

Sei \(h\) die Höhe (in Metern), aus der der Ball fallen gelassen wird, und \(e\) eine Zahl mit \(0\[\begin{align}S&=h+2(eh)+2\big(e^2h\big)+2\big(e^3h\big)+2\big(e^4h\big)+\ cdots \\ &=h +2eh\big(1+e+e^2+e^3+\cdots\big) \\&=h+2eh \times \dfrac{1}{1-e} \qquad \ qquad \qquad \qquad (\text{since } e<1) \\ &=\left( \dfrac{1+e}{1-e} \right) h.\end{align}\]

Da uns \(h=100\) und \(e=\frac23,\) gegeben sind

\[S=\left( \dfrac{1+\frac 23}{1-\frac 23} \right) 100=500 \text{ (m)}. \ _\Quadrat\]

Finden Sie die Summe der geometrischen Reihe

\[5 - \frac{10}{3} + \frac{20}{9} - \frac{40}{27} +\cdots .\]

Beachten Sie, dass die gegebene Reihe eine geometrische Folge mit dem Anfangsterm \(a= 5\) und dem gemeinsamen Verhältnis \(r=\frac{-2}{3}\) ist. Dann gilt, da \(-1\[S=\dfrac{5}{1-\left( \frac{-2}{3} \right) } = 3. \ _\square\]

Da wir nun mit den oben genannten Konzepten vertraut sind, versuchen wir, einige der folgenden Probleme zu lösen:

• Arithmetische Progressionen
• Problemlösung für arithmetische und geometrische Progressionen