Die Fibonacci-Reihe, benannt nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Pisano Bogollo, später bekannt als Fibonacci, ist eine Reihe (Summe), die aus Fibonacci-Zahlen mit der Bezeichnung F gebildet wirdN. Die Nummern der Fibonacci-Reihen lauten wie folgt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 38, . . . In einer Fibonacci-Reihe ist jeder Term die Summe der beiden vorhergehenden Terme, beginnend mit 0 und 1 als erstem und zweitem Term. In einigen alten Referenzen kann der Begriff „0“ weggelassen werden. Die Reihe hat das Interesse von Mathematikern geweckt und wird aufgrund ihrer faszinierenden Eigenschaften weiterhin untersucht und erforscht.
Wir finden Anwendungen der Fibonacci-Reihe in der Natur. Es kommt in biologischen Umgebungen vor, beispielsweise in der Verzweigung von Bäumen, in den Mustern von Blütenblättern in Blumen usw. Lassen Sie uns in den folgenden Abschnitten die Formel der Fibonacci-Reihe, ihre Eigenschaften und ihre Anwendungen verstehen.
| 1. | Was ist eine Fibonacci-Reihe? |
| 2. | Formel der Fibonacci-Reihe |
| 3. | Liste der Fibonacci-Reihen |
| 4. | Eigenschaften der Fibonacci-Reihe |
| 5. | Fibonacci-Reihe und Goldener Schnitt |
| 6. | Fibonacci-Reihe und Pascal-Dreieck |
| 7. | Anwendungen der Fibonacci-Reihe |
| 8. | FAQs zur Fibonacci-Reihe |
Was ist eine Fibonacci-Reihe?
DerFibonacci-Reiheist derReihenfolgevon Zahlen (auch Fibonacci-Zahlen genannt), wobei jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist, sodass die ersten beiden Terme „0“ und „1“ sind. In einigen älteren Versionen desSerie, kann der Begriff „0“ weggelassen werden. Eine Fibonacci-Reihe kann somit als 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... angegeben werden. . . Man kann also beobachten, dass jeder Term berechnet werden kann, indem man die beiden Terme davor addiert.
Angesichts der ersten Amtszeit, F0und zweite Amtszeit, F1als „0“ bzw. „1“, der dritte Term hier kann als F angegeben werden2= 0 + 1 = 1
Ähnlich,
- F3= 1 + 1 = 2
- F4= 2 + 1 = 3
- F5= 2 + 3 = 5
- F6= 3 + 5 = 8
- F7= 5 + 8 = 13
- usw
Um also jedes (n+1) darzustellenThTerm in dieser Reihe können wir den Ausdruck als F angebenN= Fn-1+ Fn-2. Wir können somit eine Fibonacci-Reihe darstellen, wie im Bild unten gezeigt,
Formel der Fibonacci-Reihe
Die Fibonacci-Reihenformel in der Mathematik kann verwendet werden, um die fehlenden Terme in einer Fibonacci-Reihe zu finden. Die Formel zum Finden von (n+1)ThDer Term in der Sequenz wird mit definiertrekursive Formel, so dass F0= 0, F1= 1, um F zu ergebenN.
Die Fibonacci-Formel mit Rekursion lautet wie folgt.
FN= Fn-1+ Fn-2, wobei n > 1
Spirale der Fibonacci-Reihe
Die Spirale der Fibonacci-Reihe ist eine logarithmische Spirale, die durch Verbinden der Ecken von Quadraten entsteht, deren Seitenlängen gleich sindFibocacci-Zahlenin der Fibonacci-Folge. Diese Spirale kommt in der Natur vor, beispielsweise in der Anordnung von Blättern an einem Stiel, in der Schale einer Nautilus, in den Spiralarmen von Galaxien usw. Die Spirale der Fibonacci-Reihe wurde in der Mathematik ausführlich untersucht und ist für ihr künstlerisch ansprechendes und symmetrisches Erscheinungsbild bekannt.
Hier ist das folgende Rechteck mit der Spirale der Fibonacci-Reihe ein goldenes Rechteck. d.h. seine Abmessungen liegen im „Goldener Schnitt" (≈1,618).
Liste der Fibonacci-Reihen
Jeder Term einer Fibonacci-Reihe ist eine Summe der beiden vorhergehenden Terme, vorausgesetzt, die Reihe beginnt bei „0“ und „1“. Damit können wir die Begriffe in der Reihe finden. Die ersten 20 Zahlen einer Fibonacci-Reihe sind unten in der Liste der Fibonacci-Reihen aufgeführt.
| Liste der Fibonacci-Reihen | |
|---|---|
| F0= 0 | F10= 55 |
| F1= 1 | F11= 89 |
| F2= 1 | F12= 144 |
| F3= 2 | F13= 233 |
| F4= 3 | F14= 377 |
| F5= 5 | F15= 610 |
| F6= 8 | F16= 987 |
| F7= 13 | F17= 1597 |
| F8= 21 | F18= 2584 |
| F9= 34 | F19= 4181 |
☛Überprüfen Sie auch:Du kannst den ... benutzenFibonacci-RechnerDies hilft bei der Berechnung der Terme in einer Fibonacci-Reihe.
Eigenschaften der Fibonacci-Reihe
Mit der Fibonacci-Reihe sind einige sehr interessante Eigenschaften verbunden. Sie sind unten aufgeführt,
- Die Summe (inSigma-Notation) aller Terme in dieser Reihe wird als Σ angegebenj=0NFJ= Fn+2- 1.
- Die Summe aller Fibonacci-Zahlen mit geradem Index in dieser Reihe wird als Σ angegebenj=1NF2j= F2+ F4+ . . . + F2n= F2n+1- 1.
- Die Summe aller Fibonacci-Zahlen mit ungeradem Index in dieser Reihe wird als Σ angegebenj=1NF2j-1= F1+ F3+ . . . + F2n-1= F2n.
- Die Zahlen einer Fibonacci-Reihe hängen mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Jede Fibonacci-Zahl ((n + 1)ThTerm) kann mithilfe des Goldenen Schnitts mithilfe der Formel F berechnet werdenN= (FN- (1-F)N)/√5, Hier ist φ der Goldene Schnitt, wobei φ ≈ 1,618034.
Zum Beispiel: Um die 7 zu findenThTerm verwenden wir F6= (1,6180346- (1-1.618034)6)/√5 ≈ 8. - Wie wir in der vorherigen Eigenschaft besprochen haben, können wir den Goldenen Schnitt auch anhand des Verhältnisses aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen berechnen. Für 2 aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen, gegeben als Fn+1und FN, der Wert von φ kann wie folgt berechnet werden: limn→∞Fn+1/FN.
Wir werden diese Beziehung zwischen der Fibonacci-Reihe und dem Goldenen Schnitt im nächsten Abschnitt im Detail verstehen.
Fibonacci-Reihe und Goldener Schnitt
In der Mathematik sind die Fibonacci-Reihe und der Goldene Schnitt eng miteinander verbunden. Die Fibonacci-Reihe wird wie folgt angegeben: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... Der folgende Ausdruck erklärt die Wechselbeziehung zwischen beiden Attributen.
FN= (FN- (1-F)N)/√5, wobei φ ≈ 1,618034 der Goldene Schnitt ist.
Der Goldene Schnitt wird als Grenze der Verhältnisse aufeinanderfolgender Terme der Fibonacci-Reihe (oder einer Fibonacci-ähnlichen Reihe) ausgedrücktReihenfolge), wie von Kepler im unten angegebenen Ausdruck dargestellt,
φ = limn→∞Fn+1/FN.
Mit anderen Worten: Wenn eine Fibonacci-Zahl durch ihren unmittelbaren Vorgänger in der gegebenen Fibonacci-Reihe dividiert wird, beträgt dieQuotientnähert sich φ an. Die Genauigkeit dieses Werts nimmt mit zunehmendem Wert von „n“ zu, d. h. je mehr sich n der Unendlichkeit nähert. Wir haben im vorherigen Abschnitt auch besprochen, wie sich eine Fibonacci-Spirale einer Goldenen Spirale annähert.
Fibonacci-Reihe und Pascal-Dreieck
Eine weitere interessante Methode zum Ermitteln der Zahlen in einer Fibonacci-Reihe ist das Pascalsche Dreieck.Pascals Dreieckist in der Mathematik eine dreieckige Anordnung, die die Binomialkoeffizienten umfasst. In einer Fibonacci-Reihe können Fibonacci-Zahlen abgeleitet werden, indem die Summe der Elemente beim Fallen berechnet wirdDiagonaleLinien im Pascalschen Dreieck. Wir können dies in der unten angegebenen Abbildung beobachten. Wenn wir das erste Element „0“ betrachten, können die folgenden Terme berechnet werden, indem die diagonalen Elemente wie unten angegeben summiert werden:
Anwendungen der Fibonacci-Reihe
Die Fibonacci-Reihe findet in verschiedenen Bereichen unseres täglichen Lebens Anwendung. Die unterschiedlichen Muster, die in den unterschiedlichsten Bereichen von der Natur über die Musik bis hin zum menschlichen Körper zu finden sind, folgen der Fibonacci-Reihe. Einige der Anwendungen der Serie werden wie folgt angegeben:
- Es wird bei der Gruppierung von Zahlen und zur Untersuchung verschiedener anderer spezieller mathematischer Folgen verwendet.
- Es findet Anwendung in der Codierung (Computeralgorithmen, verteilte Systeme usw.). Fibonacci-Reihen sind beispielsweise wichtig für die rechnerische Laufzeitanalyse vonEuklids Algorithmus, verwendet zur Bestimmung derGCFaus zwei ganzen Zahlen.
- Es wird in zahlreichen Bereichen der Wissenschaft wie Quantenmechanik, Kryptographie usw. angewendet.
- Im Finanzmarkthandel werden Fibonacci-Retracement-Levels häufig in der technischen Analyse verwendet.
☛ Verwandte Themen:
- Arithmetische Reihenformel
- Formeln für geometrische Reihen
Lassen Sie uns das Konzept der Fibonacci-Reihe anhand der folgenden gelösten Beispiele besser verstehen.
FAQs zur Fibonacci-Reihe
Was ist die Bedeutung der Fibonacci-Reihe?
DerFibonacci-Reiheist eine unendliche Reihe, beginnend mit „0“ und „1“, in der jede Zahl in der Reihe die Summe zweier Zahlen ist, die ihr in der Reihe vorangehen. Fibonacci-Reihenzahlen sind 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .......
Was ist die Formel der Fibonacci-Reihe in der Mathematik?
Die Fibonacci-Reihenformel ist die Formel, die verwendet wird, um die Terme in einer Fibonacci-Reihe in der Mathematik zu finden. Die Fibonacci-Formel lautet FN= Fn-1+ Fn-2, wobei n > 1, wobei F0= 0 und F1= 1.
Was sind die ersten 10 Fibonacci-Zahlen in der Fibonacci-Reihe?
Die ersten 10 Terme in einer Fibonacci-Reihe werden als 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584 und 4181 angegeben. Diese Reihe beginnt bei 0 und 1, wobei jeder Term die Summe der beiden vorhergehenden Terme ist .
Was sind die Beispiele der Fibonacci-Reihe in der Natur?
Die Fibonacci-Reihe kann in der biologischen Umgebung um uns herum in verschiedenen Formen entdeckt werden. Es kommt spiralförmig in den Blütenblättern bestimmter Blumen vor, beispielsweise in den Blütenköpfen von Sonnenblumen. Man findet es auch in den Ästen von Bäumen.
Welche Bedeutung hat die Fibonacci-Reihe?
Die Fibonacci-Reihe ist wegen ihrer Beziehung zum Goldenen Schnitt und zum Pascalschen Dreieck wichtig. Mit Ausnahme der Anfangszahlen weisen die Zahlen in der Reihe ein Muster auf, bei dem jede Zahl ≈ 1,618 mal ihre vorhergehende Zahl ist. Dieser Wert wird umso genauer, je mehr Terme in der Fibonacci-Reihe vorhanden sind.
Welche Anwendungen gibt es mit der Fibonacci-Reihenformel?
Die Anwendungen der Fibonacci-Reihe umfassen Bereiche wie Finanzen, Musik usw. Diese Anwendungen werden wie folgt angegeben:
- Dies ist wichtig für die rechnerische Laufzeitanalyse des Euklid-Algorithmus, der zur Bestimmung des GCF von zwei verwendet wirdganze Zahlen.
- Es kann in zahlreichen Bereichen der Wissenschaft wie Quantenmechanik, Physik, Kryptographie usw. angewendet werden.
- Im Finanzmarkthandel werden Fibonacci-Retracement-Levels bei der technischen Analyse von Daten verwendet.
Was ist die Fibonacci-Reihe mit Rekursion?
Fibonacci-Reihen können nicht einfach mit einer expliziten Formel dargestellt werden. Wir beschreiben die Fibonacci-Reihe daher mit arekursive Formel, gegeben als, F0= 0, F1= 1, FN= Fn-1+ Fn-2, wobei n > 1.
Wie lautet die Formel für das n?ThLaufzeit der Fibonacci-Reihe?
Die Formel zum Finden des (n)ThBegriff derSeriewird als F angegebenn-1= Fn-2+ Fn-3, wobei n >1.
Was ist die 100. Fibonacci-Zahl in der Fibonacci-Reihe?
Die 100ThDer Term in einer Fibonacci-Reihe ist 354, 224, 848, 179, 261, 915, 075. Unter Verwendung der Fibonacci-Reihenformel ist die 100ThDer Begriff kann als angegeben werdenSummeder 98Thund 99ThBedingungen.
Wozu dient die Fibonacci-Reihe?
Die Fibonacci-Reihe wird in verschiedenen Bereichen wie Mathematik, Finanzen, Informatik usw. verwendet. Außerdem dient sie als Grundlage für Algorithmen, Modelle und Muster.
Wie hängen Fibonacci-Reihe und Goldener Schnitt zusammen?
Die Terme einer Fibonacci-Reihe haben eine Beziehung zum Goldenen Schnitt. Zur Darstellung dieses Zusammenhangs können folgende Ausdrücke verwendet werden: (n+1)ThDer Begriff kann in Form des Goldenen Schnitts als F ausgedrückt werdenN= (FN- (1-F)N)/√5, wobei φ der Goldene Schnitt ist. Ebenso kann der Goldene Schnitt ausgedrückt werden als:Verhältnisvon aufeinanderfolgenden Termen einer Fibonacci-Reihe als, φ = limn→∞Fn+1/FN.