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Section 10.1 : Séquences
Commençons cette section par une discussion sur ce qu’est une séquence. Une séquence n’est rien de plus qu’une liste de nombres écrits dans un ordre précis. La liste peut contenir ou non un nombre infini de termes, bien que nous traiterons exclusivement de séquences infinies dans cette classe. Les termes de séquence généraux sont notés comme suit,
\[\begin{align*}& {a_1} - {\mbox{premier terme}}\\ & {a_2} - {\mbox{deuxième terme}}\\ & \hspace{0.75in} \vdots \\ & {a_n} - {n^{th}}{\mbox{term}}\\ & {a_{n + 1}} - {\left( {n + 1} \right)^{{\mbox{st} }}}{\mbox{ term}}\\ & \hspace{0.75in} \vdots \end{align*}\]
Parce que nous allons avoir affaire à des séquences infinies, chaque terme de la séquence sera suivi d'un autre terme comme indiqué ci-dessus. Dans la notation ci-dessus, nous devons être très prudents avec les indices. L'indice de \(n + 1\) désigne le terme suivant dans la séquence et NON un plus le terme \(n^{\mbox{th}}\) ! Autrement dit,
\[{a_{n + 1}} \ne {a_n} + 1\]
soyez donc très prudent lorsque vous écrivez des indices pour vous assurer que le « +1 » ne migre pas hors de l'indice ! C’est une erreur facile à commettre lorsque l’on commence à s’occuper de ce genre de choses.
Il existe différentes manières de désigner une séquence. Chacun des éléments suivants sont des manières équivalentes de désigner une séquence.
\[\left\{ {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n},{a_{n + 1}}, \ldots } \right\}\hspace{0.5in}\left\{ {{ a_n}} \right\}\hspace{0.5in}\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \]
Dans les deuxième et troisième notations ci-dessusunnest généralement donné par une formule.
Quelques notes s'imposent maintenant à propos de ces notations. Tout d’abord, notez la différence entre les deuxième et troisième notations ci-dessus. Si le point de départ n’est pas important ou est impliqué d’une manière ou d’une autre par le problème, il n’est souvent pas écrit comme nous l’avons fait dans la troisième notation. Ensuite, nous avons utilisé un point de départ de \(n = 1\) dans la troisième notation uniquement pour pouvoir en écrire un. Il n'y a absolument aucune raison de croire qu'une séquence commencera à \(n = 1\). Une séquence commencera là où elle doit commencer.
Jetons un coup d'œil à quelques séquences.
Exemple 1Écrivez les premiers termes de chacune des séquences suivantes.
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_ {n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), où \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ chiffre de }}\ pi\)
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un\(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)Afficher la solution
Pour obtenir les premiers termes de séquence ici, tout ce que nous avons à faire est d’insérer les valeurs de \(n\) dans la formule donnée et nous obtiendrons les termes de séquence.
\[\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty = \left\{ {\underbrace 2_{n = 1},\underbrace {\frac{3}{4}}_{n = 2},\underbrace {\frac{4}{9}}_{n = 3},\underbrace {\frac{5} {{16}}}_{n = 4},\underbrace {\frac{6}{{25}}}_{n = 5}, \ldots } \right\}\]
Notez l'inclusion du « … » à la fin ! Il s’agit d’un élément de notation important car c’est la seule chose qui nous indique que la séquence continue et ne se termine pas au dernier terme.
b\(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_ {n = 0}^\infty \)Afficher la solution
Celui-ci est similaire au premier. La principale différence est que cette séquence ne commence pas à \(n = 1\).
\[\left\{ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty = \left\{ { - 1,\frac{1}{2}, - \frac{1}{4},\frac{1}{8}, - \frac{1}{ {16}}, \ldots } \right\}\]
Notez que les termes de cette séquence alternent en signes. Les séquences de ce type sont parfois appelées séquences alternées.
c\(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), où \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ chiffre de }}\ pi\)Afficher la solution
Cette séquence est différente des deux premières dans le sens où elle n’a pas de formule spécifique pour chaque terme. Cependant, cela nous indique ce que devrait être chaque terme. Chaque terme doit être lenèmechiffre de \(\pi\). Nous savons donc que \(\pi = 3.14159265359 \ldots \)
La séquence est alors,
\[\gauche\{ {3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5, \ldots } \droite\}\]
Dans les deux premières parties de l'exemple précédent, notez que nous traitions en réalité les formules comme des fonctions auxquelles seuls des nombres entiers peuvent être connectés. Ou,
\[f\left( n \right) = \frac{{n + 1}}{{{n^2}}}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}g\left( n \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}\]
C'est une idée importante dans l'étude des séquences (et des séries). Traiter les termes de séquence comme des évaluations de fonctions nous permettra de faire beaucoup de choses avec des séquences que nous ne pourrions pas faire autrement. Avant d’approfondir cette idée, nous devons cependant clarifier quelques idées supplémentaires.
Tout d’abord, nous voulons réfléchir à la « représentation graphique » d’une séquence. Pour représenter graphiquement la séquence \(\left\{ {{a_n}} \right\}\), nous traçons les points \(\left( {n,{a_n}} \right)\) comme \(n\) plages sur toutes les valeurs possibles sur un graphique. Par exemple, représentons graphiquement la séquence \(\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). Les premiers points du graphique sont,
\[\left( {1,2} \right),\,\,\left( {2,\frac{3}{4}} \right),\,\,\left( {3,\frac{ 4}{9}} \right),\,\,\left( {4,\frac{5}{{16}}} \right),\,\,\left( {5,\frac{6} {{25}}} \right),\,\, \ldots \]
Le graphique, pour les 30 premiers termes de la suite, est alors :
Ce graphique nous amène à une idée importante sur les séquences. Notez qu'à mesure que \(n\) augmente les termes de la séquence dans notre séquence, dans ce cas, rapprochez-vous de plus en plus de zéro. On dit alors que zéro est lelimite(ou parfois levaleur limite) de la séquence et écrire,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{{n^ 2}}} = 0\]
Cette notation devrait vous paraître familière. C'est la même notation que nous avons utilisée lorsque nous parlions de la limite d'une fonction. En fait, si vous vous en souvenez, nous avons dit plus tôt que nous pouvions considérer les séquences comme des fonctions d’une manière ou d’une autre et cette notation ne devrait donc pas être trop surprenante.
En utilisant les idées que nous avons développées sur les limites des fonctions, nous pouvons écrire ce qui suitdéfinition de travailpour les limites des séquences.
FonctionnementDéfinition de la limite
- On dit que \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\]
si nous pouvons faireunnaussi proche de \(L\) que nous le souhaitons pour tout \(n\) suffisamment grand. En d’autres termes, la valeur de l’approche \({a_n}\) de \(L\) lorsque \(n\) s’approche de l’infini.
- On dit que \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \]
si nous pouvons faireunnaussi grand que nous le souhaitons pour tout \(n\) suffisamment grand. Encore une fois, en d’autres termes, la valeur des \({a_n}\) devient de plus en plus grande sans limite à mesure que \(n\) s’approche de l’infini.
- On dit que \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = - \infty \]
si nous pouvons faireunnaussi grand et négatif que nous le souhaitons pour tout \(n\) suffisamment grand. Encore une fois, en d’autres termes, la valeur des \({a_n}\) est négative et devient de plus en plus grande sans limite à mesure que \(n\) s’approche de l’infini.
Les définitions pratiques des différentes limites de séquence sont intéressantes dans la mesure où elles nous aident à visualiser quelle est réellement la limite. Cependant, tout comme pour les limites des fonctions, il existe également une définition précise pour chacune de ces limites. Donnons-les avant de continuer
PrécisDéfinition de la limite
- On dit que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) si pour tout nombre \(\varepsilon > 0\) il existe un entier \(N\) tel que \[\gauche| {{a_n} - L} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{à chaque fois}}\hspace{0.5in}n > N\]
- On dit que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) si pour tout nombre \(M > 0\) il existe un entier \(N\) tel que \[{a_n} > M\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,{\mbox{à chaque fois}}\hspace{0.5in}n > N\]
- On dit que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = - \infty \) si pour tout nombre \(M < 0\) il existe un entier \(N\) tel que \[{a_n} < M\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}n > N\]
Nous n’utiliserons pas souvent la définition précise, mais elle apparaîtra occasionnellement.
Notez que les deux définitions nous disent que pour qu'une limite existe et ait une valeur finie, tous les termes de la séquence doivent se rapprocher de plus en plus de cette valeur finie à mesure que \(n\) augmente.
Maintenant que nous avons réglé les définitions de la limite des séquences, nous avons un peu de terminologie que nous devons examiner. Si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) existe et est fini on dit que la suite estconvergent. Si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) n'existe pas ou est infini on dit la séquencediverge. Notez que parfois nous dirons la séquencediverge vers\(\infty \) si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) et si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = - \infty \) on dira parfois que la séquencediverge vers\( - \infty \).
Habituez-vous aux termes « convergent » et « divergent », car nous les verrons souvent tout au long de ce chapitre.
Alors, comment trouver les limites des séquences ? La plupart des limites de la plupart des séquences peuvent être trouvées en utilisant l'un des théorèmes suivants.
Théorème 1
Étant donné la séquence \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) si nous avons une fonction \(f\left( x \right)\) telle que \(f\left( n \right) = {a_n}\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\) puis \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\)
Ce théorème nous dit essentiellement que nous prenons les limites des séquences de la même manière que nous prenons la limite des fonctions. En fait, dans la plupart des cas, nous n’utiliserons même pas vraiment ce théorème en écrivant explicitement une fonction. Le plus souvent, nous traiterons simplement la limite comme s'il s'agissait de la limite d'une fonction et prendrons la limite comme nous l'avons toujours fait dans le calcul I lorsque nous prenions les limites des fonctions.
Donc, maintenant que nous savons que prendre la limite d’une suite est presque identique à prendre la limite d’une fonction, nous savons également que toutes les propriétés des limites des fonctions seront également valables.
Propriétés
Si \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) et \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) sont tous deux des séquences convergentes alors,
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } { a_n} \pm \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c{a_n} = c\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}\,{b_n}} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{fourni }} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right]^p }\) fourni \({a_n} \ge 0\)
Ces propriétés peuvent être prouvées en utilisant le théorème 1 ci-dessus et lepropriétés de limite de fonctionnous l'avons vu dans le calcul I ou nous pouvons les prouver directement en utilisant la définition précise d'une limite en utilisant des valeurs presque identiques.preuvesdes propriétés de limite de fonction.
Ensuite, tout comme nous avions un théorème de compression pour les limites de fonctions, nous en avons également un pour les séquences et il est à peu près identique à la version avec limite de fonction.
Théorème de compression pour les séquences
Si \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) pour tout \(n > N\) pour certains \(N\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \ infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = L\) puis \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = L\).
Notez que dans ce théorème, « pour tout \(n > N\) pour certains \(N\) » nous dit en réalité simplement que nous devons avoir \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\ ) pour tous les \(n\) suffisamment grands, mais si ce n'est pas vrai pour les premiers \(n\) cela n'invalidera pas le théorème.
Comme nous le verrons, toutes les séquences ne peuvent pas être écrites sous forme de fonctions dont nous pouvons réellement prendre les limites. Cela sera particulièrement vrai pour les séquences alternant en signes. Bien que nous puissions toujours écrire ces termes de séquence sous forme de fonction, nous ne savons tout simplement pas comment prendre la limite d’une fonction comme celle-là. Le théorème suivant vous aidera avec certaines de ces séquences.
Théorème 2
Si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
Notez que pour que ce théorème soit valable, la limite DOIT être nulle et cela ne fonctionnera pas pour une séquence dont la limite n'est pas nulle. Ce théorème est assez facile à prouver, alors faisons-le.
Preuve du théorème 2
L'essentiel de cette preuve est de noter que,
\[ - \gauche| {{a_n}} \droit| \le {a_n} \le \gauche| {{a_n}} \right|\]
Alors notez que,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { - \left| {{a_n}} \right|} \right) = - \mathop {\lim }\limits_{n \ à \infty } \left| {{a_n}} \droit| = 0\]
On a alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { - \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{ n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) et donc d'après le théorème de Squeeze, nous devons également avoir,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\]
Le théorème suivant est un théorème utile donnant la convergence/divergence et la valeur (lorsqu’elle est convergente) d’une séquence qui apparaît occasionnellement.
Théorème 3
La séquence \(\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) converge si \( - 1 < r \le 1\) et diverge pour toutes les autres valeurs de \(r\). Aussi,
\[\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} {r^n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}0&{{\mbox{if} } - 1 < r < 1}\\1&{{\mbox{if}}r = 1}\end{array}}\right.\]
Voici une preuve partielle rapide (enfin pas si rapide, mais certainement simple) de ce théorème.
Preuve partielle du théorème 3
Nous le ferons par une série de cas même si le dernier cas ne sera pas complètement prouvé.
Cas 1: \(r > 1\)
Nous savons grâce au calcul I que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) si \(r > 1\) et donc par le théorème 1 ci-dessus, nous savons également que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty \) et donc la séquence diverge si \(r > 1\).
Cas 2: \(r = 1\)
Dans ce cas, nous avons,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {1^n} = \mathop {\lim } \limits_{n \to \infty } 1 = 1\]
Ainsi, la suite converge pour \(r = 1\) et dans ce cas sa limite est 1.
Cas 3: \(0 < r < 1\)
Nous savons grâce au calcul I que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) si \(0 < r < 1\) et donc par le théorème 1 ci-dessus nous aussi sachez que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) et donc la suite converge si \(0 < r < 1\) et dans ce cas sa limite est zéro.
Cas 4: \(r = 0\)
Dans ce cas, nous avons,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {0^n} = \mathop {\lim } \limits_{n \to \infty } 0 = 0\]
Ainsi, la suite converge pour \(r = 0\) et dans ce cas sa limite est nulle.
Cas 5: \( - 1 < r < 0\)
Notons d’abord que si \( - 1 < r < 0\) alors \(0 < \left| r \right| < 1\) alors par le cas 3 ci-dessus nous avons,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{r^n}} \droit| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left| r \droite|^n} = 0\]
Le théorème 2 ci-dessus nous dit maintenant que nous devons aussi avoir, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) et donc si \( - 1 < r < 0\ ) la suite converge et a une limite de 0.
Cas 6: \(r = - 1\)
Dans ce cas, la séquence est,
\[\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty = \left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \ droite\}_{n = 0}^\infty = \gauche\{ {1, - 1,1, - 1,1, - 1,1, - 1, \ldots } \right\}_{n = 0 }^\infty \]
et j'espère qu'il est clair que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n}\) n'existe pas. Rappelons que pour que cette limite existe, les termes doivent se rapprocher d'une valeur unique à mesure que \(n\) augmente. Dans ce cas cependant, les termes alternent simplement entre 1 et -1 et donc la limite n'existe pas.
Ainsi, la séquence diverge pour \(r = - 1\).
Cas 7: \(r < - 1\)
Dans ce cas, nous n’allons pas procéder à une preuve complète. Voyons juste ce qui se passe si on laisse \(r = - 2\) par exemple. Si nous faisons cela, la séquence devient,
\[\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty = \left\{ {{{\left( { - 2} \right)}^n}} \ droite\}_{n = 0}^\infty = \left\{ {1, - 2,4, - 8,16, - 32, \ldots } \right\}_{n = 0}^\infty \ ]
Donc, si \(r = - 2\) nous obtenons une séquence de termes dont les valeurs alternent en signe et deviennent de plus en plus grandes et donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 2} \right)^n}\) n'existe pas. Il ne se stabilise pas à une valeur unique à mesure que \(n\) augmente et les termes TOUS ne s'approchent pas de l'infini. Ainsi, la séquence diverge pour \(r = - 2\).
Nous pourrions faire quelque chose de similaire pour n'importe quelle valeur de \(r\) telle que \(r < - 1\) et donc la séquence diverge pour \(r < - 1\).
Jetons un coup d'œil à quelques exemples de limites de séquences.
Exemple 2Déterminez si les séquences suivantes convergent ou divergent. Si la suite converge, déterminez sa limite.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} - 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \ )
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
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un\(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} - 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \ )Afficher la solution
Dans ce cas, il suffit de rappeler la méthode développée dans le Calcul I pour traiter les limites des fonctions rationnelles. Voir leLimites à l'infini, partie Isection des notes de calcul I pour un examen de ceci si vous en avez besoin.
Pour créer une limite sous cette forme, tout ce que nous devons faire est de factoriser à partir du numérateur et du dénominateur la plus grande puissance de \(n\), d'annuler puis de prendre la limite.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3{n^2} - 1}}{{10n + 5{n^2}}} = \mathop {\lim } \limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}\left( {3 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2 }\left( {\frac{{10}}{n} + 5} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3 - \frac{1} {{{n^2}}}}}{{\frac{{10}}{n} + 5}} = \frac{3}{5}\]
Ainsi, la suite converge et sa limite est \(\frac{3}{5}\).
b\(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)Afficher la solution
Nous devrons être prudents avec celui-ci. Il faudra utiliser la Règle de L’Hospital sur cette séquence. Le problème est que la Règle de L’Hospital ne fonctionne que sur les fonctions et non sur les séquences. Normalement, cela poserait un problème, mais nous avons le théorème 1 ci-dessus pour nous aider. Définissons
\[f\left( x \right) = \frac{{{{\bf{e}}^{2x}}}}{x}\]
et notez que,
\[f\left( n \right) = \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}\]
Le théorème 1 dit qu’il suffit de prendre la limite de la fonction.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{2x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{{ \bf{e}}^{2x}}}}{1} = \infty \]
Ainsi, la séquence dans cette partie diverge (vers \(\infty \)).
Le plus souvent, nous appliquons simplement la règle de L'Hospital sur les termes de la séquence sans les convertir au préalable en \(x\) puisque le travail sera identique, que nous utilisions \(x\) ou \(n\). Cependant, nous devons vraiment nous rappeler que techniquement, nous ne pouvons pas faire de dérivées en traitant de termes de séquence.
c\(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)Afficher la solution
Il faudra également être prudent avec cette séquence. Nous pourrions être tentés de dire simplement que la limite des termes de la séquence est nulle (et nous aurions raison). Cependant, techniquement, nous ne pouvons pas prendre la limite des séquences dont les termes alternent en signe, car nous ne savons pas comment faire les limites des fonctions qui présentent le même comportement. Nous voulons également faire très attention à ne pas trop nous fier à l’intuition pour résoudre ces problèmes. Comme nous le verrons dans la section suivante et dans les sections suivantes, notre intuition peut nous égarer dans ces problèmes si nous n’y prenons pas garde.
Alors, travaillons celui-ci selon les règles. Nous devrons utiliser le théorème 2 sur ce problème. Pour cela, nous devrons d’abord calculer,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\]
Par conséquent, puisque la limite des termes de séquence avec des barres de valeur absolue va vers zéro, nous savons par le théorème 2 que,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} = 0\]
ce qui signifie également que la séquence converge vers une valeur nulle.
d\(\left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)Afficher la solution
Pour ce théorème, notez que tout ce que nous avons à faire est de réaliser qu’il s’agit de la séquence du théorème 3 ci-dessus utilisant \(r = - 1\). Ainsi, d’après le théorème 3, cette suite diverge.
Nous devons maintenant avertir en cas d’utilisation abusive du théorème 2. Le théorème 2 ne fonctionne que si la limite est nulle. Si la limite de la valeur absolue des termes de la séquence n’est pas nulle, alors le théorème ne sera pas valable. La dernière partie de l'exemple précédent en est un bon exemple (et en fait, cet avertissement est la seule raison pour laquelle cette partie est là). Remarquerez que
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 1 = 1\]
et pourtant, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n}\) n'existe même pas et encore moins égal à 1. Alors soyez prudent en utilisant ce théorème 2. Vous devez toujours vous rappeler que cela ne fonctionne que si la limite est nulle.
Avant de passer à la section suivante, nous devons donner un théorème supplémentaire dont nous aurons besoin pour une démonstration ultérieure.
Théorème 4
Pour la séquence \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) si à la fois \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) alors \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) est convergent et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\).
Preuve du théorème 4
Soit \(\varepsilon > 0\).
Alors puisque \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) il existe un \({N_1} > 0\) tel que si \(n > {N_1 }\) nous savons que,
\[\gauche| {{a_{2n}} - L} \right| < \varepsilon \]
De même, parce que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) il existe un \({N_2} > 0\) tel que si \(n > {N_2}\) nous le savons,
\[\gauche| {{a_{2n + 1}} - L} \right| < \varepsilon \]
Maintenant, soit \(N = \max \left\{ {2{N_1},2{N_2} + 1} \right\}\) et soit \(n > N\). Alors soit \({a_n} = {a_{2k}}\) pour certains \(k > {N_1}\) soit \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) pour certains \(k > {N_2}\) et donc dans les deux cas nous avons ça,
\[\gauche| {{a_n} - L} \right| < \varepsilon \]
Par conséquent, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) et donc \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) est convergent.