2.2 : Relations de récurrence (2023)

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Exercice \ (87 \)

Comment le nombre de sous-ensembles d'un ensemble d'éléments N est-il lié au nombre de sous-ensembles d'un (\ (n - 1 \ \)) - ensemble d'éléments?Prouvez que vous avez raison.(Indice).

Exercice \ (88 \)

Expliquez pourquoi le nombre de bijections d'un élément \ (n \) - défini sur un ensemble d'éléments \ (n \) - est égal à \ (n \) fois, le nombre de bijections d'un (\ (n - 1 1\)) - Sous-ensemble d'élément à un (\ (n - 1 \)) - Définir les éléments.Qu'est-ce que cela a à voir avec le problème 27?

Nous pouvons résumer ces observations comme suit.Si \ (s_ {n} \) représente le nombre de sous-ensembles d'un \ (n \) - ensemble d'éléments, alors

\ [s_ {n} = 2s_ {n-1} \ label {2.2.1} \]

et si \ (b_ {n} \) représente le nombre de bijections d'un ensemble d'éléments n sur un ensemble d'éléments \ (n \) - alors

\ [b_ {n} = nb_ {n-1} \ label {2.2.2} \]

Les équations \ (\ ref {2.2.1} \) et \ (\ ref {2.2.2} \) sont des exemples d'équations de récidive ou de relations de récidive.Une relation de récidive ou simplement une récidive est une équation qui exprime le terme \ (n ^ {\ text {th}} \) d'une séquence \ (a_ {n} \) en termes de valeurs de \ (a_ {i} \ \) pour \ (i

2.2.1 : Exemples de relations de récurrence

D'autres exemples de récidives sont

\ [a_ {n} = a_ {n} −1 + 7, \ label {2.2.3} \]

\ [a_ {n} = 3a_ {n} −1 + 2n, \ label {2.2.4} \]

\ [a_ {n} = a_ {n} −1 + 3a_ {n} −2, \ text {et} \ label {2.2.5} \]

\ [a_ {n} = a_ {1} a_ {n - 1} + a2a_ {n - 2} + \ dotsi + a_ {n - 1} a_ {1}.\ label {2.2.6} \]

Une solution à une relation de récidive est une séquence qui satisfait la relation de récidive.Ainsi, une solution à la récurrence \ (\ ref {2.2.1} \) est la séquence donnée par \ (s_ {n} = 2 ^ {n} \).Notez que \ (s_ {n} = 17 \ cdot 2 ^ {n} \) et \ (s_ {n} = −13 \ cdot 2 ^ {n} \) sont également des solutions à la récidive \ (\ ref {2.2.1}\).Ce que cela montre, c'est qu'une récidive peut avoir une infinité de solutions.Dans un problème donné, il existe généralement une solution qui nous intéresse.Par exemple, si nous sommes intéressés par le nombre de sous-ensembles d'un ensemble, alors la solution de récidive \ (\ ref {2.2.1} \) dont nous nous soucions est \ (s_ {n} = 2 ^ {n} \).Remarquez qu'il s'agit de la seule solution que nous avons mentionnée qui satisfait \ (s_ {0} = 1 \).

Exercice \ (89 \)

Montrez qu'il n'y a qu'une seule solution à la récidive \ (\ ref {2.2.1} \) qui satisfait \ (s_ {0} = 1 \).

Exercice \ (90 \)

Une relation de récurrence du premier ordre est une relation qui exprime an en termes de $a_{n−1}$ et d'autres fonctions de $n$, mais qui n'inclut aucun des termes $a_{i}\ ) pour \(i < n − 1$ dans l’équation.

Laquelle des récurrences \ (\ ref {2.2.1} \) via \ (\ ref {2.2.6} \) sont des récurrences de premier ordre?
Montrez qu'il existe une et une seule séquence \ (a_ {n} \) qui est définie pour chaque entier non négatif \ (n \), satisfait une récidive de premier ordre donnée et satisfait \ (a_ {0} = a \) pourune constante fixe \ (a \).(Indice).

\ (\ rightarrow \) exercice \ (91 \)

Le puzzle «Towers of Hanoi» a trois tiges qui s'élevaient d'une base rectangulaire avec des anneaux \ (n \) de différentes tailles empilées par ordre décroissant de taille sur une tige.Une décision légale consiste à déplacer un anneau d'une tige à une autre afin qu'elle n'atterrisse pas sur un anneau plus petit.Si \ (m_ {n} \) est le nombre de mouvements nécessaires pour déplacer tous les anneaux de la tige initiale vers une autre tige que vous choisissez, donnez une récidive pour \ (m_ {n} \).(Indice).

$\rightarrow$ Exercice $92$

Nous dessinons \ (n \) les cercles qui se croisent mutuellement dans le plan de sorte que chacun se croise un exactement deux fois et pas trois se croisent au même point.(Comme exemples, pensez aux diagrammes de Venn avec deux ou trois ensembles d'intersion mutuellement.) Trouvez une récidive pour le nombre \ (r_ {n} \) des régions dans lesquelles le plan est divisé par des cercles \ (n \).(Un cercle divise le plan en deux régions, l'intérieur et l'extérieur.) Trouvez le nombre de régions avec des cercles \ (n \).Pour quelles valeurs de \ (n \) pouvez-vous dessiner un diagramme de Venn montrant toutes les intersections possibles des ensembles \ (n \) en utilisant des cercles pour représenter chacun des ensembles?(Indice).

2.2.2: série arithmétique (facultative)

Exercice \ (93 \)

Un enfant range deux dollars de son allocation chaque semaine.Si elle commence par vingt dollars, donnez une récidive pour le montant \ (a_n \) d'argent qu'elle a après \ (n \) des semaines et découvrez combien d'argent elle a à la fin des semaines \ (n \).

Exercice \ (94 \)

Une séquence qui satisfait une récidive de la forme \ (a_ {n} = a_ {n - 1} + c \) est appelée unprogression arithmétique.Trouvez une formule en termes de valeur initiale \ (a_ {0} \) et de la différence commune \ (c \) pour le terme an dans une progression arithmétique et prouvez que vous avez raison.

Exercice $95$

Une personne qui gagne \ (50 000 $ \) par an obtient une augmentation de \ (3000 $ \) par an pendant \ (n \) des années consécutives.Trouvez une récidive pour le montant \ (a_n \) de l'argent que la personne gagne sur \ (n + 1 \) ans.Quel est le montant total que la personne gagne sur une période d'années \ (n + 1 \)?(En \ (n + 1 \) années, il y a \ (n \) augmente.)

Exercice \ (96 \)

Unsérie arithmétiqueest une séquence \ (s_ {n} \) égale à la somme des termes \ (a_ {0} \) via \ (a_n \) d'une progression arithmétique.Trouvez une récidive pour la somme \ (s_ {n} \) d'une progression arithmétique avec une valeur initiale \ (a_ {0} \) et une différence commune \ (C \) (en utilisant le langage du problème 94).Trouvez une formule pour le terme général \ (s_n \) de la série arithmétique \ (a_n \).

2.2.3: Récurrences linéaires de premier ordre

Des récidives telles que celles des équations \ (\ ref {2.2.1} \) via \ (\ ref {2.2.5} \) sont appeléesrécidives linéaires, tout comme les récidives des problèmes 91 et 92. Arécidive linéaireest celui dans lequel un est exprimé comme une somme de fonctions de \ (n \) fois les valeurs de (certains des termes) \ (a_ {i} \) pour \ (i homogèneSi la fonction de conduite est nulle (ou, en d'autres termes, il n'y a pas de fonction de conduite).Il s'appelle unCoefficient constant récidive linéaireSi les fonctions qui sont multipliées par les termes \ (a_i \) sont toutes des constantes (mais la fonction de conduite n'a pas besoin d'être constante).

Exercice \ (97 \)

Classifier les récidives dans les équations \ (\ ref {2.2.1} \) via \ (\ ref {2.2.5} \) et les problèmes 91 et 92 selon qu'ils soient ou non un coefficient constant, et s'ils sont ou non homogènes.

\ (\ Bullet \) Exercice \ (98 \)

Comme vous pouvez le voir sur le problème 97, certaines séquences intéressantes satisfont les récidives linéaires de premier ordre, y compris beaucoup qui ont des coefficients constants, ont un terme de conduite constant ou sont homogènes.Trouvez une formule en termes de \ (b, d, a_ {0} \) et \ (n \) pour le terme général et d'une séquence qui satisfait un coefficient constant de première commande de première commande \ (a_ {n} = ba_ {n - 1} + d \) et prouver que vous avez raison.Si votre formule implique une somme, essayez de remplacer la sommation par une expression plus compacte.(Indice).

2.2.4: série géométrique

Une séquence qui satisfait une récurrence de la forme $a_{n} = ba_{n−1}$ est appelée uneprogression géométrique.Ainsi, la séquence satisfaisant l'équation \ (\ ref {2.2.1} \), la récidive du nombre de sous-ensembles d'un ensemble d'éléments \ (n \) - est un exemple d'une progression géométrique.De votre solution au problème 98, une progression géométrique a la forme \ (a_ {n} = a_ {0} b ^ {n} \).Dans votre solution au problème 98, vous avez peut-être dû faire face à la somme d'une progression géométrique en notation légèrement différente, à savoir \ (\ sum ^ {n-1} _ {i = 0} db ^ {i} \).Une somme de cette forme est appelée unsérie géométrique (finie).

Exercice \ (99 \)

Ne résolvez ce problème que si votre réponse finale (jusqu'à présent) au problème 98 contenait la somme $\sum^{n-1}_{i=0} db^{i}$.

Développez \ ((1 - x) (1 + x) \).Développez \ ((1 - x) (1 + x + x ^ {2}) \).Expand \ ((1 - x) (1 + x + x ^ {2} + x ^ {3}) \).
Qu'attendez-vous \ ((1 - b) \ sum ^ {n-1} _ {i = 0} db ^ {i} \)?Quelle formule pour \ (\ sum ^ {n-1} _ {i = 0} db ^ {i} \) vous donne-t-il?Prouvez que vous avez raison.

Dans les problèmes 98 et peut-être 99, vous avez prouvé un théorème important. Bien que le théorème n'ait pas de nom, la formule qu'il énonce s'appelle lesomme d'une série géométrique finie.

Théorème \ (\ PageIndex {1} \)

Si \ (b \ neq 1 \) et \ (a_ {n} = ba_ {n - 1} + d \), alors \ (a_ {n} = a_ {0} b ^ {n} + d \ dfrac {1-b ^ {n}} {1-b} \), alors \ (a_ {n} = a_ {0} + nd \).

Corollaire \ (\ PageIndex {1} \)

Si \ (b \ neq 1 \), alors \ (\ sum ^ {n-1} _ {i = 0} b ^ {i} = \ dfrac {1-b ^ {n}} {1-b} \).Si \ (b = 1 \), \ (\ sum ^ {n-1} _ {i = 0} b ^ {i} = n \).